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古典論理の意味論とタブロー

このページでは、初学者が最初に学ぶべき論理(古典論理)について説明する。書籍版はこちら(やまなみ書房)
紛らわしいが、古典論理とは、アリストテレスによって完成した古代ギリシャの論理学(伝統的論理学)のことではなく、現代論理学(記号論理学・数理論理学)の成立初期に研究されていた論理学のことを指す。
古典論理の意味論と証明論を結びつける「古典論理の健全性と完全性」の証明を理解することが、このページの最終的な目標である。

第1章 古典命題論理の意味論

私たちが普段用いている論理は、私たちが想像しているよりも遥かに複雑な構造をしている。そこで、いきなりその論理について語るのではなく、まずはその様々な側面を切り取ることで得られる断片について語ることにしよう。このような断片の中で最も基本的なものとして古典論理と呼ばれる論理がある。そして、古典論理は古典命題論理古典述語論理(以降では、単に「命題論理」、「述語論理」と略す)の二つに分かれる。まずは、前者について学んでいく。
  1. 命題の意味
  2. 「または」と「ならば」
  3. 命題の記号化
  4. 真理値表
  5. 命題の変形
  6. 命題論理の論証
  7. 様々な論証

第2章 古典命題論理のタブロー

第1章では、真理値表を用いて論証が妥当かどうかを判定する方法を学んだ。しかし、この方法は、分析したい論証を構成する原子命題の種類が増えれば増えるほど指数関数的に大変になっていく。つまり、それぞれの原子命題は真か偽の二通りの可能性があるので、n種類の原子論理式があれば、2^n通りの可能性を全て調べなければならない。そこで、第2章では、より楽に論証が妥当かどうかを判定する方法を学ぶ。
  1. 命題論理のタブローの規則
  2. タブローの描き方
  3. タブローによる反例の発見
  4. タブローによる妥当性の証明
  5. 命題論理のタブローの健全性と完全性

第3章 古典述語論理の意味論

第1章と第2章では、原子命題を最も基礎的な単位として扱った。例えば、§1.3で述べたように、命題論理では「私」と「猫が好きだ」の間にある関係性を表現することができないので、「私は猫が好きだ」をそれ以上分析することはできない。そこで、第3章では、主語と述語の間の関係を分析することができる論理として、述語論理と呼ばれる論理を学ぶ。この論理を用いれば、「全ての〜は…だ」や「ある〜は…だ」といった文を扱えるようになる。
  1. 個体と固有名
  2. 量化子による記号化
  3. 閉論理式の真理値I
  4. 閉論理式の真理値II
  5. 述語論理の論証
  6. 同じ意味
  7. 多項述語論理

第4章 古典述語論理のタブロー

第3章では、閉論理式の真理値の定義を用いて論証が妥当かどうかを判定する方法を学んだ。しかし、この方法は、文章で長々と記述するので視覚的に分かりにくい上に、機械的に実行できる手順ではない。そこで、第4章では、視覚的に分かりやすく、しかも機械的に実行できる手順として、述語論理のタブローを導入する。§4.4までの間は単項述語論理の閉論理式、§4.5以降は多項述語論理の閉論理式を扱う。
  1. 述語論理のタブローの規則
  2. 真理保存性
  3. タブローによる論証の分析
  4. タブローの規則の適用順序と複数回適用
  5. 多項述語論理のタブロー
  6. ヒンティッカ集合
  7. 述語論理のタブローの健全性と完全性
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